Ensembles finis Exemples

$3 x - 4 y = 16$ , $6 x + 8 y = - 2$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = 16 - 3 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 16 - 3 x$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 16 - 3 x$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{16}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Divisez $16$ par $- 4$ .

$y = - 4 + \frac{- 3 x}{- 4}$

Étape 1.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 4 + \frac{3 x}{4}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $\frac{3 x}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 4$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{4} x - 4$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{3}{4}$ .

$m_{1} = \frac{3}{4}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$8 y = - 2 - 6 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $8 y = - 2 - 6 x$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $8 y = - 2 - 6 x$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1)}{8} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 6 x}{8}$

Étape 3.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $8$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{8}$

Étape 3.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (4)}$

Étape 3.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 3.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{4} - \frac{3 x}{4}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{4}$ et $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{4} x) - \frac{1}{4}$

Étape 3.4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $- \frac{3}{4}$ .

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$3 x - 4 y = 16, 6 x + 8 y = - 2$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $3 x - 4 y = 16$ .

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Étape 6.1.1

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 16 + 4 y$

$6 x + 8 y = - 2$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 16 + 4 y$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 16 + 4 y$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$6 x + 8 y = - 2$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $6 x + 8 y = - 2$ par $\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ .

$6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $6 (\frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}) + 8 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) (\frac{16}{3}) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot (2 (\frac{16}{3})) + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$2 \cdot 16 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 + 6 (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$32 + 3 (2) (\frac{4 y}{3}) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$32 + 3 \cdot (2 (\frac{4 y}{3})) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 2 (4 y) + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 8 y + 8 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $8 y$ et $8 y$ .

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$32 + 16 y = - 2$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $32 + 16 y = - 2$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$16 y = - 2 - 32$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $32$ de $- 2$ .

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$16 y = - 34$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $16 y = - 34$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $16 y = - 34$ par $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 y}{16} = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 34}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 34$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$y = \frac{2 (- 17)}{16}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{17}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{16}{3} + \frac{4 y}{3}$ par $- \frac{17}{8}$ .

$x = \frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez $\frac{16}{3} + \frac{4 (- \frac{17}{8})}{3}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{16 + 4 (- \frac{17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{17}{8}$ dans le numérateur.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{8})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 (2)})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{16 + 4 (\frac{- 17}{4 \cdot 2})}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 + \frac{- 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{16 - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.3

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{16 \cdot \frac{2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez $16$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2}{2} - \frac{17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\frac{16 \cdot 2 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.6.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$x = \frac{\frac{32 - 17}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.6.2

Soustrayez $17$ de $32$ .

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{\frac{15}{2}}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$x = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.4.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{8})$

Étape 8